12.- Matrices

 

MATRICES

 

¿Qué son las matrices?

Las matrices son un conjunto bidimensional de números o símbolos distribuidos de forma rectangular, en líneas verticales y horizontales, de manera que sus elementos se organizan en filas y columnas. Sirven para describir sistemas de ecuaciones lineales o diferenciales, así como para representar una aplicación lineal.

Toda matriz se representa por medio de una letra mayúscula, y sus elementos se reúnen entre dos paréntesis o corchetes, en letra minúscula. A su vez, tienen doble superíndice: el primero hace referencia a la fila y el segundo a la columna a la que pertenece.

Esta expresión matemática puede sumarse, multiplicarse y descomponerse, por lo que su uso es común en el álgebra lineal. 

Una matriz es un conjunto de números, caracteres, letras u otros contenidos matemáticos que se disponen de forma bidimensional en filas y columnas. Todos estos datos están encerrados entre el símbolo del paréntesis. Las matrices pertenecen a la rama de las matemáticas del álgebra.

 

¿Qué conceptos están asociados a las matrices?

Algunos de los conceptos necesarios para completar la definición y el análisis de las matrices son:

Elementos: son los números que conforman la matriz.

Dimensión: se trata del resultado del número de filas por el número de columnas. Se designa la m al número de filas y n al número de columnas.

Anillos: se trata de un término propio del álgebra y hace referencia al sistema formado por un conjunto de operaciones internas que responden a una serie de propiedades. Las matrices se entienden como elementos de un anillo.

Función: se trata de una regla de correspondencia entre dos conjuntos en el que un elemento del primer conjunto se corresponde, exclusivamente, con un solo elemento el segundo conjunto.

 

¿Qué tipos de matrices existen?

Una matriz puede ser:

 

Rectangular: tiene diferentes números de filas y columnas.

Fila: una matriz rectangular, pero con una sola fila.

Columna: una matriz rectangular, pero con una sola columna.

Nula: matriz cuyos elementos son iguales a cero.

Cuadrada de orden n: matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. En este tipo de matrices, la dimensión se llama orden, y su valor coincide con el número de filas y columnas.

Diagonal: es un tipo de matriz cuadrada en la que los elementos que no se encuentran en la diagonal principal son iguales a cero.

Escalar: es una matriz diagonal en la que todos los elementos presentes en la diagonal principal son iguales.

Identidad: se trata de una matriz escalar en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a uno, mientras que el resto de los elementos son iguales a cero.

Opuesta: es opuesta a otra cuyos elementos tienen un signo contrario a la matriz principal. Es decir, la matriz opuesta a A se denomina -A y todos los elementos del conjunto son contrarios a los elementos de la matriz A.

Traspuesta: se trata de la matriz que se obtiene al convertir las filas en columnas. Se utiliza el superíndice t para representarla y su dimensión es n x m.

Triangular superior: se trata de una matriz cuadrada en la que al menos uno de los términos que está por encima de la diagonal principal es distinto a cero, y todos los que están situados por debajo a ella son iguales a cero.

Triangular inferior: a diferencia del tipo anterior, en este tipo de matriz al menosuno de los elementos que están debajo de la diagonal principal son diferentes a cero y todos los que están por encima de ella son iguales a cero.

 

¿Qué aplicación tienen las matrices?

Las matrices tienen múltiples aplicaciones, sobre todo para representar coeficientes en sistemas de ecuaciones o aplicaciones lineales, pudiendo desempeñar la matriz la misma función que los datos de un vector en un sistema de aplicación lineal.  En función a esto, algunas de las aplicaciones pueden ser:

 

En informática: es uno de los campos en los que más se utilizan las matrices por su eficacia en la manipulación de información. Las matrices son ideales para representaciones gráficas y para la animación de formas.

En robótica: se utilizan matrices para programar robots que pueden ejecutar diferentes tareas. Un ejemplo de ello es un brazo biónico que, a través de procesos mecánicos programables, puede cumplir funciones parecidas a las de un brazo humano. Toda esta programación es resultados de cálculo por medio de matrices.